概要
以下のように、Babylon.jsでクリックしたmeshの名前を取得する方法を調査しました。

以下のチュートリアルを参考にしました。
デモページは以下です。
https://nakamura196.github.io/nuxt3-babylonjs/8/
ページのソースコードは以下です。
https://github.com/nakamura196/nuxt3-babylonjs/blob/main/pages/8/index.vue
実装方法
以下の箇所で、createSceneにcallback変数を渡しています。fpsCallbackの名前は修正したほうがよいかもしれません。
そして、createScene関数において、onPointerDownの結果を渡すようにしています。
まとめ
よりよい実装方法があるかもしれませんが、参考になりましたら幸いです。